cerdasmatematika.com | Pada kesempatan kali ini admin akan membagikan materi seputar bilangan bulat dan pecahan dalam mata pelajaran matematika kelas tujuh dilengkapi dengan contoh soal latihan dan pembahasannya. Semoga apa yang admin bagikan kali ini dapat membantu anak didik dalam mencari referensi tentang bilangan bulat dan pecahan dalam mata pelajaran matematika kelas tujuh dilengkapi dengan contoh soal latihan dan pembahasannya.
A. Bilangan Bulat dan Lambangnya
Bilangan bulat adalah . . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .
Bilangan-bilangan: –1, –2, –3, –4, –5, . . . disebut bilangan bulat negatif. Bilangan-bilangan di atas nol yaitu 1, 2, 3, 4, 5, . . . disebut bilangan bulat positif.
Himpunan bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Nol (0) adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatif.
Contoh:
1. Suhu manakah yang lebih tinggi, –8° atau –5°?
Jawab:
Pada garis bilangan vertikal, –5° terletak di sebelah atas –8°, maka suhu yang lebih tinggi adalah –5°.
2. Sisipkanlah lambang > atau < di antara pasangan-pasangan bilangan berikut agar menjadi kalimat benar!
a. 4 dan –5
b. –15 dan –7
Jawab:
a. Pada garis bilangan mendatar, 4 terletak di sebelah kanan –5, maka 4 > –5.
b. Pada garis bilangan mendatar, –15 terletak di sebelah kiri –7, maka –15 < –7.
B. Penjumlahan Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
Penjumlahan Bilangan Bulat
Untuk memahami pengertian penjumlahan dua bilangan bulat, dapat ditunjukkan dengan Menggunakan garis bilangan seperti contoh berikut.
Contoh:
1. Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan garis bilangan! 8 + (–3)
Jawab:
Penjumlahan 8 + (–3)
2. Pada sebuah perusahaan es krim, suhu di ruang administrasi 41° lebih tinggi dari suhu di gudang tempat penyimpanan es krim. Jika suhu di ruang gudang tersebut –17°C, berapa derajat suhu di ruang administrasi?
Jadi, suhu di ruang administrasi = –17° + 41° = 24°C. Berdasarkan uraian tersebut, jika pemahaman tentang konsep penjumlahan bilangan bulat melalui garis bilangan telah dikuasai, maka hasil penjumlahan bilangan bulat dapat juga ditentukandengan menggunakan aturan berikut.
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku:
- –a + b = –(a – b) jika a lebih dari b
- –a + b = b – a jika b lebih dari a
- –a + (–b) = –(a + b) kedua-duanya bilangan negatif
Contoh:
1. Hitunglah penjumlahan-penjumlahan bilangan bulat berikut!
a. –27 + 12
b. –14 + 29
c. –36 + (–58)
Jawab:
a. –27 + 12 = –(27 – 12) 27 lebih dari 12 dan 27 bertanda negatif
= –15
b. –14 + 29 = 29 – 14 29 lebih dari 14 dan 29 bertanda positif
= 15
c. –36 + (–58) = –(36 + 58) sama-sama bilangan negatif
= –94
2. Tentukan nilai n, dengan n adalah bilangan bulat! a. n + (–8) = –14 b. 10 + n = –5
Jawab:
a. n + (–8) = –14
n = –6
b. 10 + n = –5
n = –15
C. Sifat-Sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat
a. Sifat Komutatif (Pertukaran)
- Untuk sembarang bilangan bulat a dan b selalu berlaku:
- a + b = b + a
- Sifat ini disebut sifat komutatif ( pertukaran) pada penjumlahan.
b. Unsur Identitas pada Penjumlahan
jika 0 ditambah dengan suatu bilangan atau suatu bilangan ditambah dengan 0, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. 0 disebut unsur identitas pada penjumlahan.
c. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
- Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku:
- (a + b) + c = a + (b + c).
- Sifat ini disebut sifat asosiatif pada penjumlahan.
d. Sifat Tertutup
- Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
- Sifat ini disebut sifat tertutup pada penjumlahan bilangan bulat.
D. Penjumlahan Bilangan Model Gauss
E. Pengurangan Bilangan Bulat
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b selalu berlaku: a – b = a + (–b).
Contoh:
1. Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut!
a. –8 – 12
b. 6 – (–10)
c. –14 – 15 – (–21)
Jawab:
a. –8 – 12 = –8 + (–12) = –20
b. 6 – (–10) = 6 + 10 = 16 = –29 + 21 = –8
c. –14 – 15 – (–21) = –14 + (–15) + 21
2. Seekor lumba-lumba melompat sampai ketinggian 3 meter di atas permukaan air laut, kemudian turun dan menyelam sampai kedalaman 7 meter. Hitunglah jarak antara puncak lompatan dengan kedalaman penyelaman lumbalumba tersebut!
Jadi, jarak puncak lompatan dengan kedalaman penyelaman
= 3 – (–7)
= 3 + 7
= 10 meter.
F. Perkalian Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
Perkalian Bilangan Bulat Positif dengan Negatif
Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
Untuk setiap bilangan a dan b berlaku a × (–b) = –ab.
Contoh:
Suhu udara di puncak sebuah gunung pada sore hari adalah 18°C. Selanjutnya, suhu tersebut turun 4°C pada setiap 2 jam. Tentukan tinggi suhu di puncak pegunungan tersebut 10 jam kemudian!
Jawab:
Dalam 10 jam, suhu turun 5 kali, masing-masing 4°C.
Jadi, suhu di puncak pegunungan pada 10 jam kemudian
= 18 – (5 × 4)
= 18 – 20
= –2°C.
Hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif. Untuk setiap bilangan a dan b berlaku (– a) × b = – ab.
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut!
1. –4 × 7
2. [6 × (–7)] × 8
3. –15 × (–24 + 32)
4. (–35 + 12) × 20
Jawab:
1. –4 × 7 = –28
2. [6 × (–7)] × 8 = –42 × 8
3. –15 × (–24 + 32) = –15 × 8 = –120
4. (–35 + 12) × 20 = –23 × 20 = –336 = –460
G. Perkalian Dua Bilangan Bulat Negatif
Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap bilangan a dan b berlaku (– a) × (–b) = ab.
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut!
1. –8 × (–12)
2. (–7 × 3) × (–8)
3. –4 × [5 × (–6)]
4. [10 + (–24)] × (–9)
Jawab:
1. –8 × (–12) = 96
2. (–7 × 3) × (–8) = –21 × (–8)
3. –4 × [5 × (–6)] = –4 × (–30) = 120
4. [10 + (–24)] × (–9) = –14 × (–9)= 168 = 126
H. Pembagian Bilangan Bulat
1. Pembagian Sebagai Operasi Kebalikan dari Perkalian
- Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.
- p : q = r ⇔ r × q = p.
- Operasi kebalikan ini disebut juga invers perkalian.
2. Pembagian Bilangan Bulat
- Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat positif menghasilkan
- bilangan bulat negatif.
Contoh:
Tentukan hasil pembagian bilangan-bilangan berikut!
1. –15 : 3
2. –72 : 2
3. (–60 : 5) : 3
Jawab:
1. –15 : 3 = –5
2. –72 : 2 = –36 = –4
3. (–60 : 5) : 3 = –12 : 3
a. Pembagian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif
Contoh :
Tentukan hasil pembagian bilangan-bilangan berikut!
1. 18 : (–3)
2. 84 : (–12)
3. 42 : [8 + (–15)]
Jawab:
1. 18 : (–3) = –6
2. 84 : (–12) = –7 = –6
3. 42 : [8 + (–15)] = 42 : (–7)
b. Pembagian Dua Bilangan Bulat Negatif
Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat positif.
Contoh:
Tentukan hasil pembagian bilangan-bilangan berikut!
1. –30 : (–6)
2. –96 : (–12)
3. –75 : [45 : (–9)]
Jawab:
1. –30 : (–6) = 5
2. –96 : (–12) = 8 = 15
3. –75 : [45 : (–9)] = –75 : (–5)
c. Pembagian Bilangan Nol
Untuk sembarang bilangan bulat a,
maka:
a : 0 = tidak terdefinisikan.
Untuk sembarang bilangan bulat a dengan a ≠ 0, maka: 0 : a = 0.
I. Operasi Hitung Campuran
Dalam menyelesaikan operasi campuran yang memuat penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
- Dahulukaan operasi perkalian kemudian pembagian, atau sebaliknya.
- Lanjutkan dengan operasi penjumlahan atau pengurangan
J. Kelipatan dan Faktor
Kelipatan 2 adalah 2 × 1, 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 2 × 5, ..., yaitu 2, 4, 6, 8, 10, ... .
Kelipatan 3 adalah 3 × 1, 3 × 2, 3 × 3, 3 × 4, 3 × 5, ..., yaitu 3, 6, 9, 12, 15, ... .
Kelipatan 4 adalah 4 × 1, 4 × 2, 4 × 3, 4 × 4, 4 × 5, ..., yaitu 4, 8, 12, 16, 20, ... . Berdasarkan kelipatan dua bilangan atau lebih, dapat ditentukan anggota-anggota persekutuannya yang disebut kelipatan persekutuan. Anggota terkecil pada kelipatan persekutuan disebut kelipatan persekutuan terkecil atau KPK.
Contoh:
Tentukan KPK dari bilangan-bilangan berikut! 3 dan 4 2. 3, 6, dan 8
Jawab:
1. Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ....
Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ... .
Kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12, 24, 36, 48, ... .
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3 dan 4 adalah 12.
2. Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, ... .
Kelipatan 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ... .
Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ... .
Kelipatan persekutuan dari 3, 6, dan 8 adalah 24, 48, 72, 96, ... .
KPK dari 3, 6, dan 8 adalah 24.
K. Faktor dan Faktor Persekutuan
Faktor-faktor dari suatu bilangan dapat diperoleh dengan cara menyatakan bilangan tersebut sebagai hasil kali dua bilangan atau lebih. Untuk itu, perhatikan uraian berikut!
12 = 1 × 12
= 2 × 6 Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
= 3 × 4
70 = 1 × 7
= 2 × 35 Faktor dari 70 adalah 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, dan 70. = 5 × 14
= 7 × 10
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa mencari faktor suatu bilangan sama artinya dengan mencari semua pembagi yang habis membagi bilangan itu.
Dari dua bilangan atau lebih, dapat ditentukan anggota-anggota persekutuannya yangdisebut faktor persekutuan. Anggota terbesar pada faktor persekutuan disebut faktor persekutuan terbesar atau FPB.
Contoh :
Tentukan FPB dari bilangan-bilangan berikut! 12 dan 18 2. 24, 48, dan 72
Jawab:
1. Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18.
Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6.
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 12 dan 18 adalah 6.
2. Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24.
Faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48.
Faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72.
Faktor persekutuan dari 24, 48, dan 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24.
FPB dari 24, 48, dan 72 adalah 24.
L. KPK dan FPB dengan Faktorisasinya Prima
Untuk memahami cara menemukan KPK maupun FPB dengan cara pemfaktoran (faktorisasi) prima, ikutilah uraian berikut!
1. Faktorisasi prima dari 12 = 2² x 3
Faktorisasi prima dari 18 = 2x 3²
KPK dari 12 dan 18 = 36 = 2² x 3²
FPB dari 12 dan 18 = 6 = 2 x 3
2. Faktorisasi prima dari 100 = 2² x 5²
Faktorisasi prima dari 70 = 2 x 5 x 7
KPK dari 100 dan 70 = 700 = 2² x 5² x 7
FPB dari 100 dan 70 = 10 = 2 x 5
Cara menentukan faktor prima
KPK diperoleh dari hasil kali faktor-faktor prima yang berbeda dan mengambil pangkat tertinggi untuk faktor yang sama. FPB diperoleh dari hasil kali faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil.
Contoh:
Arkan mengunjungi perpustakaan setiap 6 hari sekali, Dimas setiap 4 hari sekali, sedangkan Sukma setiap 8 hari sekali. Jika pada tanggal 28 Januari mereka mengunjungi perpustakaan bersama-sama, pada tanggal berapa mereka akan mengunjungi perpustakaan bersama-sama lagi berikutnya?
Jawab:
Soal di atas berkaitan dengan KPK
6 = 2 x 3
4 = 2², dan
8 = 2³
KPK dari 6, 4, dan 8 = 2³ x 3 = 24
Mereka akan mengunjungi perpustakaan bersama-sama berikutnya setelah 24 hari. Jadi, mereka akan mengunjungi perpustakaan bersama-sama lagi pada tanggal: 28 Januari + 24 hari = 21 Februari (Banyak hari pada bulan Januari = 31 hari)
Contoh:
Tersedia 84 buku, 56 pensil, dan 140 krayon. Jika buku, pensil, dan krayon tersebut akan dibagi rata kepada sejumlah anak, berapa anak sebanyak-banyaknya yang dapat menerima pembagian tersebut?
Jawab:
Soal di atas berkaitan dengan, FPB, maka:
84 = 12 x 7
= 2² x 3 x 7
56 = 8 x 7
= 2² x 7
140 = 20 x 7
= 2² x 5 x 7
FPB dari 84, 56, dan 140 = 2² x 7 = 28
Jadi, banyak anak yang menerima pembagian tersebut adalah 28 anak.
M. Contoh Soal Pembahasan
1. Dalam suatu tes, jawaban yang benar diberi nilai 4, yang salah diberi nilai -2, dan untuk soal tidak dijawab diberi nilai 0. Jika dari 25 soal, Andi menjawab dengan benar 18 soal dan 5 soal salah serta sisanya tidak dijawab, maka nilai yang diperoleh Andi adalah ....
A. 62
B. 65
C. 70
D. 82
Pembahasan:
Benar (b) = 4, Salah (s) = -2, dan Kosong (k)=0
Rumus nilai siswa adalah:
N = 4b – 2s + 0k
Nilai Andi ; b = 18, s = 5, dan k = 2 adalah;
N = 4(18) – 2(5) + 0(2)
= 72 – 10 + 0
= 62
Jadi, jawaban yang benar adalah A
2. Dalam sebuah lomba, terdapat 17 orang ikut lomba busana dan 11 orang ikut lomba melukis. Jika jumlah peserta lomba seluruhnya ada 25 orang, maka persentase banyak peserta yang hanya mengikuti lomba melukis saja adalah ....
A. 20 %
B. 25 %
C. 32 %
D. 44 %
Pembahasan:
n (B) = 17
n(M ∩ B) =
= n(M) + n(B) – n(M ∪ B)
= 11 + 17 – 25 = 3
n (M) saja = 11 – 3 = 8
Persentasenya =
⁸/₂₅ x 100% = 32 %
3. Seorang petani memiliki lahan seluas 1 ha dan 3/5 nya akan digunakan untuk menanam jagung, setiap 1 m² lahan memerlukan bibit jagung sebanyak 11/2 ons. Jika harga bibit jagung Rp 2000,- per kilogram maka biaya untuk membeli jagung seluruhnya adalah….
A. Rp 2.000.000,-
B. Rp 1.800.000,-
C. Rp 1.500.000,-
D. Rp 1.200.000,-
Pembahasan:
Lahan yang digunakan untuk menanam jagung = 3/5 x 10.000 m² = 6.000 m
Tiap 1 m² lahan memerlukan jagung 11/2 ons = 0,15 kg
Banyak jagung seluruhnya
= 6000 x 0,15 kg = 900 kg
Biaya membeli jagung
= Rp 2.000,- x 900 = Rp 1.800.000,-
Jadi, jawaban yang benar adalah B
4. Ibu memberi uang kepada Tika Rp 5.000,- dan Tika membelanjakan uang tersebut Rp 600,- tiap hari. Jika sekarang sisa uangnya Rp 200,- maka Tika telah membelanjakan uangnya selama ....
A. 3 hari
B. 5 hari
C. 7 hari
D. 8 hari
Pembahasan:
Jumlah uang = Rp 5.000,00
Sisa uang = Rp 200,00
Yang dibelanjakan = Rp 4.800,00
Belanja tiap hari = Rp 600,00
Lamanya Tika membelanjakan uang :
= Rp 4.800,00 : Rp 600,00 = 8 hari
Jawaban yang benar D
5. Suhu dipuncak gunung -15 ⁰C dan suhu dikota A 32 ⁰C. Perbedaan suhu kedua tempat itu adalah…
A. 17 ⁰C
B. 32 ⁰C
C. 47 ⁰C
D. 57 ⁰C
Pembahasan:
Suhu di gunung = -15 ⁰C
Suhu di Kota = 32 ⁰C
Perbedaan suhu:
= 15 ⁰C + 32 ⁰C = 47 ⁰C
Jawaban yang benar C
6. Tiga orang yaitu A, B, dan C melakukan jaga (piket) secara berkala. A tiap 3 hari sekali, B tiap 4 hari sekali, dan C tiap 5 hari sekali. Pada hari Selasa 2 November 2004 mereka berjaga bersama.
Kapankah mereka akan tugas bersamaan lagi pada kesempatan berikutnya?
A. Sabtu, 1 Januari 2005
B. Minggu, 2 Januari 2005
C. Senin, 3 Januari 2005
D. Rabu, 5 Januari 2005
Pembahasan:
Tugas I bersama : 2 Nopember 2004
KPK dari 3, 4 dan 5 = 60 hari
Tugas bersama lagi untuk kedua kalinya adalah 60 hari kemudian.
Nop = 30 hari , Des = 31 hari
60 Hari setelah 2 Nopember 2004 adalah tanggal 1 Januari 2005.
Jawaban yang benar A
7. FPB dari 18 x²y⁵z³ dan 24 x³y²z⁵ adalah ....
A. 18 x³y⁵z⁵
B. 18 x²y²z³
C. 6 x³y⁵z⁵
D. 6 x²y²z³
Pembahasan:
FPB dari 18 x²y⁵z³ dan 24 x³y²z⁵
FPB 18 dan 24 = 6
FPB x² dan x³ = x2²
FPB y⁵ dan y² = y²
FPB z³ dan z⁵ = z³
Maka FPB = 6 x²y²z³
Jawaban yang benar D
8. KPK dari bilangan 6, 8, dan 12 adalah ....
A. 24
B. 48
C. 72
D. 96
Pembahasan:
Kelipatan 6 = 6,12,18,24,30,36,42, 48, ....
Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 48,...
Kelipatan 12 = 12, 24, 36, 48, ...
Maka KPK 6, 8, dan 12 = 24
Jawaban yang benar A
9. Dari 20 siswa yang mengikuti lomba Matematika, 5 orang berhak maju ke babak final dan 3 orang berhasil menjadi juara. Persentase siswa yang menjadi juara adalah ....
A. 3%
B. 6%
C. 15%
D. 30%
Pembahasan:
Jumlah peserta = 20 orang Peserta yang juara = 3 orang
Persentase Juara adalah :
= ³/₂₀ x 100%
= 15%
Jadi, jawaban yang benar C
10. Dalam ruang perpustakaan terdapat 40 siswa, 20 siswa membaca puisi 15 siswa membaca novel, sedangkan sisanya membaca surat kabar, persentase siswa yang senang membaca koran adalah ....
A. 50%
B. 37,5%
C. 12,5%
D. 5%
Pembahasan:
Baca surat kabar = 40 – (20 + 15 )
= 5 siswa.
Persentase SK = ⁵/₄₀ x 100%
= 12,5%
Jadi, jawaban yang benar C
N. Pengertian Pemangkatan Bilangan Bulat
Untuk sembarang bilangan bulat a, pemangkatan dari bilangan bulat a didefinisikan sebagai berikut.
a² = a x a
a³ = a x a x a
a⁴ = a x a x a x a, dan seterusnya
Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.
Pada bentuk bilangan berpangkat 15²:
15 disebut bilangan pokok
2 disebut pangkat atau eksponen
15² dibaca: "lima belas pangkat dua" atau "lima belas kuadrat"
(-8)² dibaca: "min delapan dipangkatkan dua" atau "min delapan dikuadratkan"
Contoh:
1. Tentukan hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut!
a. 102
b. -83
c. (-9 + 6)4
Jawab:
a. 102 = 10 x 10 = 100
b. -83 = -( 8 x 8 x 8 )
= -512
c. (-9 + 6)⁴ = (-3) ⁴
= (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
2. Apakah 1.008 merupakan bilangan kuadrat?
Jawab:
Faktorisasi prima
1.008 = 2⁴ x 3² x 7
= 4² x 3² x 7
= (4 x 3)² x 7
Karena memuat faktor yang bukan merupakan bilangan kuadrat, yaitu 7, maka 1.008 bukan bilangan kuadrat.
3. Tentukan nilai x, jika x bilangan bulat!
a. x³ = 216
b. x² = 16
Jawab:
a. x³ = 216
x³ = 6³ x²
x = 6
b. x² = 16
= 4² atau (-4)²
x = 4 atau -4
Jadi, nilai x = 4 atau x = -4
O. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat
1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Untuk sembarang bilangan bulat a dengan pangkat m dan n, selalu berlaku: a m x an = a m + n
Contoh:
Nyatakan perkalian berikut dalam bentuk yang lebih sederhana!
1. 33 x 34
2. 5²x 5⁷ x 5
Jawab:
1. 33 x 34 = 33 + 4
=37
2. 5²x 5⁷ x 5 = (5² x 5⁷) x 5
= 52 + 7 + 1
= 510
